解:设一般的一元三次方程为 x^3+ax^2+bx+c=0
令 x=y-a/3,代入得
(y-a/3)^3+a(y-a/3)^2+b(y-a/3)+c=0
展开化简得 y^3+(b-a^2/3)y+(2a^3/27-ab/3+c)=0
这就变成了缺二次项的三次方程.因此解一般的三次方程可归结为解
形如 x^3+px+q=0 的方程.
令x=u+v,上式变为
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
为了求出u,v,只须设 3uv+p=0,从而有u^3+v^3+q=0.这就只要解方
程组:
u^3+v^3=-q.(1)
(u^3)(v^3)=-p^3/27.(2)
由韦达定理可知 u^3,v^3是二次方程 t^2+qt-p^3/27=0
的根,解此方程得
u^3=t1=[-q+√(q^2+4p^3/27)]/2=-(q/2)+√[(q^2)/4+p^3/27]
v^3=t2=-(q/2)-√[(q^2)/4+p^3/27]
由于u和v的立方根各有三种取法(把u^3和v^3写成复数的三角形式, 然后开立方),因而可得u+v的九组值,但九组值中只有三组满足条件:
3uv+p=0.这三组才是原方程的根.这样我们便得到用三次方程的系数
表示根的公式:x=u+v=
[-q/2+√(q^2/4+p^3/27)]^(1/3)+[-q/2-√(q^2/4+p^3/27)]^(1/3)
即是所谓的卡当公式.(此公式不好用,一般都不用它).
例:解方程 x^3+3x^2-3x-14=0
解:令x=y-1, 方程化为 y^3-6y-9=0(由此可知y=3是它的一个实数根,
因而可分解因式为(y-3)(y^2+3y+3)=0.若知道这麽解,下面的过程就
可全省去.作为上述解法的实例,我不用此法,继续往下作.)
又设y=u+v,则得
u^3+v^3-9+(3uv-6)(u+v)=0
令3uv-6=0,故u^3+v^3-9=0
∴得方程组:
(u^3)(v^3)=8.(1)
u^3+v^3=9.(2)
由韦达定理可得二次方程t^2-9t+8=(t-8)(t-1)=0,即
u^3=8,v^3=1.
写成复数形式:
u^3=8(cos0°+isin0°)
v^3=cos0°+isin0°
于是u=2[cos(k*360°/3)+isin(k*360°/3)]
v=cos(k*360°/3)+isin(k*360°/3)
(k=o,1,2)
故u1=2, u2=2ω, u3=2ω^2, 其中ω=-1/2+i√3/2
v1=1, v2=ω^2, v3=ω.
(∵u1*v1=2; u2*v2=2ω^3=2*1=2; u3*v3=2ω^3=2,
满足3uv-6=0)
∴y1=u1+v1=2+1=3; y2=u2+v2=2ω+ω^2=-3/2+i√3/2;
y3=u3+v3=2ω^2+ω=-3/2-i√3/2.
因此原方程的根为:
x1=y1-1=3-1=2; x2=y2-1=-5/2+i√3/2; x3=y3-1=-5/2-i√3/2.
从上面可以看出三次方程确实可解,但这种解法并不一定是简捷的.特
别是,如果方程有有理根,那么先用综合除法找出有理根会更方便些
