给定椭圆方程x2b2+y2a2＝1 (a＞b＞0)，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四
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解题思路：设所求双曲线的方程是x2α2−y2β2＝−1，由题设知c2=α2+β2=a2-b2．由方程组x2b2+y2a2＝1x2α2−y2c2−α2＝−1，解得交点的坐标满足x2＝b2α2c2，y2＝a2(1−α2c2)，即|x|＝bαc，|y|＝α1−α2c2．由此可推出相应的四边形顶点坐标．
设所求双曲线的方程是
x2
α2−
y2
β2＝−1
由题设知c2=α2+β2=a2-b2．
由方程组
x2
b2+
y2
a2＝1
x2
α2−
y2
c2−α2＝−1
解得交点的坐标满足x2＝
b2α2
c2，y2＝a2(1−
α2
c2)，即|x|＝
bα
c，|y|＝α
1−
α2
c2．
由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S＝4|xy|＝4ab•
α
c
1−
α2
c2
因为S与
α2
c2(1−
α2
c2)同时达到最大值，
所以当(
a
c)2＝
1
2时达到最大值2ab
这时α2＝
1
2c2＝
1
2(a2−b2)，β2＝
1
2c2＝
1
2(a2−b2)，
因此，满足题设的双曲线方程是
x2
1
2(a2−b2)−
y2
1
2(a2−b2)＝−1．
相应的四边形顶点坐标是(
2
2b，
2
2a)，(−
2
2b，
2
2a)，(−
2
2b，−
2
2a)，(
2
2b，−
2
2a)．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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