（2013•天津）已知函数f（x）=x 2 lnx．
1个回答
（1）所以函数f（x）的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（
，+∞）
（2）见解析（3）见解析
（1）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），
求导数可得f′（x）=2xlnx+x 2•
=2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0，可解得x=
，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0，
）
（
，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（
，+∞）
（2）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），
由（1）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（e t）=e 2tlne t﹣t=t（e 2t﹣1）＞0，
故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；
（3）证明：因为s=g（t），由（2）知，t=f（s），且s＞1，
从而
=
=
=
=
，其中u=lns，
要使
成立，只需
，
即2＜
，即2＜2+
，
只需
，变形可得只需0＜lnu＜
，
当t＞e 2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e 2，矛盾，
所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，
另一方面，令F（u）=lnu﹣
，u＞1，F′（u）=
，
令F′（u）=0，可解得u=2，
当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，
故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，
故有F（u）=lnu﹣
＜0，即lnu＜
，
综上可证：当t＞e 2时，有
成立．
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