1、已知一族集合A1、A2……An具有性质：（1 - 已解决

1、已知一族集合A1、A2……An具有性质：（1）每个Ai含有三十个元素；（2）对每一对i、j：1小于等于i小于j小

1、已知一族集合A1、A2……An具有性质：（1）每个Ai含有三十个元素；（2）对每一对i、j：1小于等于i小于j小于等于n,Ai交Aj都是单元素集；（3）A1交A2交……交An=空集求使这样的集合族存在的最大的正整数n

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可以假设对Ai,A(i+1),…A(i+k)这(k+1)个集合彼此的交集都为同一元素a(即a是它们的公共元素),那么按性质3,当k最大时,a就不能出现在其他集合中.再结合性质2,不在该子族的另外的集合至少有k+1个元素,故有30≥k+1,所以k的最大值为29,也就是含有相同元素的集合至多有30.

为了使n最大,不妨假设这n个集合中恰好有30个含有相同元素的集合,去掉相同元素a后,这30个集合中每个集合都有29个元素,而其他集合中含有的与上述30个集合相同的元素的最多有29*29(理由就是前面证明的定理,注意由于已经有一个元素在前述的30个集合中了,所以含有相同元素的集合变为29,考虑性质2的制约,故对于不在前述的30个集合之内的集合应有29^2个)加上前面的30个,共有841+30=871.

以上的方法是正面进攻,反面进攻.

假设有K(K>30)个含有相同元素的集合,那么对于第K+1个集合而言,它一定含有前K个集合中的元素,即其元素总数大于30,与性质一矛盾.

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