（2009•北京）已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤
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解题思路：（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
a
j
a
i
两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（Ⅱ）由性质P，知anan＞an，故anan∉A，从而1=
a
n
a
n
∈A，a1=1．再验证又∵
a
n
a
n
＜
a
n
a
n−1
＜…＜
a
n
a
2
＜
a
n
a
1
，
a
n
a
n
＝1
，
a
n
a
n−1
＝
a
2
，…，
a
n
a
2
＝
a
n−1
，从而
a
n
a
n
+
a
n
a
n−1
+…+
a
n
a
2
+
a
n
a
1
=a1+a2+…+an，命题得证；
（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明
a
5
a
4
＝
a
4
a
3
＝
a
3
a
2
＝
a
2
a
1
＝
a
2
即可．
（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，
∴该数集不具有性质P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，[6/2]，[6/3]，[1/1]，[2/2]，[3/3]，都属于数集{1，2，3，6，
∴该数集具有性质P．
（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，an}具有性质P，
∴anan与
an
an中至少有一个属于A，
由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an
故anan∉A．
从而1=
an
an∈A，a1=1．
∵1=a1＜a2＜…an，n≥2，∴akan＞an（k=2，3，4，…，n），
故akan∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性质P可知
an
ak∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵
an
an＜
an
an−1＜…＜
an
a2＜
an
a1，
∴
an
an＝1，
an
an−1＝a2，…，
an
a2＝an−1，
从而
an
an+
a
点评：
本题考点： 数列的应用．
考点点评： 本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．
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