11证明.∵AD为△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
又∵DE,DF分别为△ABD,△ACD的高
∴∠AED=∠AFD=90°
在△AED和△AFD中,∠BAD=∠CAD ∠AED=∠AFD AD=AD
∴△AED全等于△AFD（AAS)
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）
∴AD垂直平分EF（角平分线性质）
12证明.∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
又∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
∴DB=EC=AF
∵等边三角形每个角为60度
∴∠ABE=∠FCE=∠FAD
∴DB=CE=AF,所以△DBE全等于△CFE全等于△ADF
∴DE=EF=DF（全等三角形对应边相等）
∴△DEF为等边三角形
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