设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围
3个回答

因为f(x)=xlnx+4,f(x)≤ax²-ax+4,x≥1

所以lnx≤a(x-1),分离变量a≥lnx/(x-1)

令g(x)=lnx/(x-1),求导g`(x)=(1-lnx-1/x)/(x-1)^2

令t(x)=1-lnx-1/x,求导t`(x)=-1/x+1/x^2,

因为t`(x）在x≥1时t`(x）≤0恒成立

所以t(x)=lnx-1+1/x单减,又t(1)=0,

所以g`(x)=(1-lnx-1/x)/(x-1)^2≤0在x≥1恒成立,且在x=1时g(x)=0

即x〉1时g`(x)

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