用第二换元法求不定积分,需解题过程
1个回答

被积函数√(x^2-a^2)/x＝√[1-(a/x)^2]

设 a/x＝sinθ,则 x＝a/sinθ,那么

∫√(x^2-a^2)/xdx

＝∫√[1-(a/x)^2]dx

＝∫√[1-(sinθ)^2]·d(a/sinθ)

＝∫cosθ·[-acosθ/(sinθ)^2]·dθ

＝a·∫-(cotθ)^2·dθ

＝a·∫[1-(csc)^2]dθ

＝a(θ+cotθ) + C (注意：用到了“d(cotθ)＝-(cscθ)^2·dθ”这一结论）

因 a/x＝sinθ,cosθ＝√[1-(a/x)^2],θ＝arcsin(a/x),故

cotθ＝cosθ/sinθ＝[√(x^2-a^2)]/a,

所以 ∫√(x^2-a^2)/xdx＝a·arcsin(a/x) + √(x^2-a^2) + C.

相关问题