已知f(x)=lnx， （m＜0），直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1
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已知f(x)=lnx，
（m＜0），直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1。
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h(x)= f(x+1)-g′(x)，求函数h(x)的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，总有
。
（Ⅰ）依题意知，直线
的斜率
，
∵
，故直线
与函数f（x）的图像的切点坐标是(1，0)，
∴直线的方程为y=x-1，
又∵直线
与
的图像也相切，
∴由
，得
，
令
，
∵m＜0，
∴解得m=-2。
（Ⅱ）
，
∴
，
∴
，
令
＞0，解得：-1＜x＜0；
令
＜0，解得：x＜-1（舍去）或x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2。
（Ⅲ）∵由（II）知：当x＞-1时，
，即
，
∴当x＞-1时，
，当且仅当x=0时等号成立，
∵
，故
，
∴
。
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