正方体ABCD-A1B1C1D1中,MN分别为AA1和BB1的中点,若θ是异面直线CM与D1N所成的角,求COSθ.Th
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用向量很好,但是太过复杂!

作NP//A1D1交CC1于P,易看出,A1P//MC

所以,一面直线D1N和MC的交角即矩形A1D1PN对角线的交角

很好做的

设正方形边长2a

A1N=D1P=√5a,A1D1=PN=2a

A1P=D1N=3a

设矩形A1D1PN对角线交于O点,解等腰三角形OPN

PN=2a,OP=ON=3a/2

作PQ⊥ON,垂足Q,OM⊥NP于M

则RtΔNPQ∽RtΔOMN

OM:PQ=ON:PN

OM^2=9a^2/4-a^2=,OM=√5a/2

PQ=(2a*√5a/2)/(3a/2)

=2√5a/3

OQ^2=9a^2/4-20a^2/9

=a^2/36

OQ=a/6

cosθ=PQ/OP=(a/6)*3/(2a)=1/4

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