杨氏不等式de证明如题所示
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查书.
Young不等式
如果a＞0且b＞0,而数p,q满足：1/p+1/q=1,那么
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b,当p＞1
a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b,当p＜1
证明：
可以先证明：
x＞0时,
x^α-αx+α-1≤0,当0＜α＜1时；
x^α-αx+α-1≥0,当α＜0或α＞1时；
f(x)=x^α+αx+α-1
f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0
0＜α＜1时,f'(x)＞0,当x∈(0,1)
f'(x)＜0,当x∈(1,+∞)
∴f(x)在x=1处取最大值,f(1)=0,∴f(x)≤0
α＜0或α＞1时,f'(x)＜0,当x∈(0,1)时
f'(x)＞0,当x∈(1,+∞)时
∴f(x)在x=1处取最小值,f(1)=0,∴f(x)≥0
代入,x=a/b,α=1/p,得：
f(a/b)=(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1
当p＞1时,即0＜α＜1：
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≤0
即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b)+1/q
同时乘以b,得：
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b
当p＜1时,即α＜0(p＜0)或α＞1(0＜p＜1)
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≥0
即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b)+1/q
同时乘以b,得：
a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*
