设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足xf′（x）=f（x）+3a2x2（a为常数
1个回答
x∈（0，1），xf′（x）=f（x）+
3a
2x2（a为常数），
则
1
xf′(x)?
1
x2f(x)＝
3a
2(a为常数)，
[
1
xf(x)]′＝
3a
2＝(
3a
2x+C)′，C为任意常数，
1
xf(x)＝
3a
2x+C
f(x)＝
3a
2x2+Cx
又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，
即S＝
∫ 10(y?0)dx═
∫ 10(
3a
2x2+Cx)dx=[
a
2x3+
C
2x2
]10]=
a
2+
C
2＝2
所以，C=4-a．
故f(x)＝
3a
2x2+Cx=
3a
2x2+(4?a)x．
又因为函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，所以上式对区间[0，1]适用．
所以，f(x)＝
3a
2x2+(4?a)x，x∈[0，1]
因为函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，
所以，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
V＝
∫ 10πy2dx=π
∫ 10[
3a
2x2+(4?a)x]2dx=π
∫ 10[
9a2
4x4+3a(4?a)x3+(4?a)
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