什么是实数? 240分（貌似这是最高分了）求实数的定义
1个回答
1.
Dedekind切割大多数数学分析教材上都有,你自己去看吧,要理解的话就是
1)有理数的Dedekind切割不可能和有理数建立一一对应关系,从而定义出了实数.
2)实数的Dedekind切割和实数可以建立一一对应关系,这个就是Dedekind定理.
关于Cauchy序列,一般数学分析教材上没有利用Cauchy序列定义实数的方法,我就简单写一下：
记有理数域上的Cauchy序列全体为X,
如果{A_n}和{B_n}满足{An-Bn}的极限是0,那么称{A_n}和{B_n}等价,或者直接写成{A_n}={B_n}.
那么X在上述等价关系下的商集就定义成实数集.
Cauchy序列的收敛性称为完备性,你学过泛函分析之后就会有比较深入的理解.
2.
f(x+y)=f(x)+f(y)的不连续解可以用Hamel基来构造,把实数看成有理数域上的线性空间就可以了.不过这一构造依赖于选择公理.
要理解的话就这样看：从整数到有理数都可以导出线性关系是因为整数对除法的不封闭性,而有理数已经构成域了,所以在有限步四则运算下不可能得到无理数,也就无法将这一线性关系继续推广下去.
3.
无穷小量是变量!所以不存在你说的这种表示.
4.
复数是在解一元三次方程的时候最早引入的,一元三次方程即使三个根都是实根,在求解的时候也需要用到复数.
复数的意义：
复数对于很多运算的封闭性表明复数域是一个相当完美的集合.
如果你学过复分析的话也会看到复变函数具有很奇特的性质.
现实世界的很多东西需要用复数来描述,这一点相当重要.
如果你觉得复数没什么意义,那么我也可以说无理数没什么意义,大不了用有理数近似一下就行了,误差可以小于任意指定的正数.
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