一束光线从点A(-1,1)出发,经过直线l:x-y-1=0反射后与圆C:x2+y2-6x-8y+24=0相切,求反射线所在的直线方程.
设点A(-1,1)关于直线l:x-y-1=0的对称点为A′(a,b),
则可得
a−1
2−
b+1
2−1=0
b−1
a+1•1=−1,解得
a=2
b=−2,即A′(2,-2),
由反射原理可知,从A射出的光线经l反射后与圆C相切,
只需从A′射出的光线(即反射光线)与圆相切即可,
设反射光线的方程为y+2=k(x-2),即kx-y-2k-2=0,
化圆的方程为标准方程可得(x-3)2+(y-4)2=1,
可得圆心(3,4),半径r=1,
由点到直线的距离公式可得
|3k−4−2k−2|
k2+1=1,
解得k=[35/12],此时直线的方程为35x-12y-94=0,
当直线无斜率时,方程为x=3满足题意,
综上可得反射线所在的直线方程为:35x-12y-94=0或x=3
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