解题思路：（1）根据抛物线的顶点式解析式可得出P的坐标为（2，-1）．
（2）如果△APB是等腰直角三角形，那么根据P的纵坐标不难得出AB=2，根据对称轴x=2可得出A，B的坐标分别为（1，0）（3，0）．然后可根据A，B的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．也就能得出a的值和C点的坐标．
求D点坐标时，可根据∠ABP=45°，即三角形OBD是等腰直角三角形来解．此时OB=OD，B点的横坐标的绝对值就是D点的纵坐标的绝对值，由此可得出D的坐标．
（3）当旋转后A在C′D′上时，E点和O重合此时b=0；当旋转后A在B′D′上时，此时可求得OE=1，即b=-1．因此可分三种情况进行讨论：
①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分是个三角形，如果设C′D′与AC交于M，那么重叠部分就是△CEM的面积．可先求出EM的长，然后再根据三角形的面积公式得出S，b的函数关系式．
②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分是五边形，由于五边形不是规则的图形，因此可先根据AC，D′B′，AD的直线的解析式求出旋转后得出的三角形与ACD的各边的交点的坐标，然后根据其他规则图形的面积的“和，差”关系来求出五边形的面积，即可得出S，b的函数关系式．
③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为四边形，可仿照②的解法求出此时S，b的函数关系式．
综上所述可得出b的不同取值范围内，S，b的函数关系式，然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值．
（1）P（2，-1）（2）因为△APB为等腰直角三角形，P点坐标为（2，-1）所以AB=2，所以A（1，0），B（3，0）将A点坐标代入二次函数y=a（x-2）2-1得：0=a（1-2）2-1，所以a=1所以二次函数为：y=x2-4x+3所以C（0，3），...
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
