（2008•深圳一模）已知f（x）=lnx，g（x）=[1/2x2+mx+72]（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相

（2008•深圳一模）已知f（x）=lnx，g（x）=[1/2

x

2

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解题思路：（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与

g(x)＝

1

2

x

2

+mx+

7

2

(m＜0)

联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；

（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；

（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln[a+b/2a]=ln（1+[b−a/2a]）．由（2）知当x∈（-1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，

ln（1+[b−a/2a]）＜[b−a/2a]即可得出f（a+b）-f（2a）＜[b−a/2a]．

（1）∵f′(x)＝

1

x，∴f'（1）=1．

∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．

∴直线l的方程为y=x-1．（2分）

又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，

∴方程组

y＝x−1

y＝

1

2x2+mx+

7

2有一解．

由上述方程消去y，并整理得x2+2（m-1）x+9=0①

依题意，方程①有两个相等的实数根，

∴△=[2（m-1）]2-4×9=0

解之，得m=4或m=-2

∵m＜0，∴m=-2．（5分）

（2）由（1）可知 g(x)＝

1

2x2−2x+

7

2，

∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）

∴h′(x)＝

1

x+1−1＝

−x

x+1．（7分）

∴当x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．

∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，

（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln[a+b/2a]=ln（1+[b−a/2a]）．

∵0＜b＜a，∴-a，∴−

1

2＜

b−a

2a＜0．

由（2）知当x∈（-1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（-1，0）时，ln（1+x）＜x，

ln（1+[b−a/2a]）＜[b−a/2a]

．∴f（a+b）-f（2a）＜[b−a/2a]

点评：

本题考点： 函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．

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