如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足是D，F是BC上一点，EF平分∠AFC，EG⊥A
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解题思路：（1）根据角平分线性质得出EC=EG，根据勾股定理推出CF=GF即可．
（2）连接BE，推出AE=BE，根据HL证出Rt△AGE≌Rt△BCE即可．
（3）求出BC，根据勾股定理求出AC，设EG=EC=x，则AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得出方程62+x2=（8-x）2，求出方程的解即可．
（1）EC=EG，CF=GF，
理由是：∵∠C=90°，EG⊥AF，EF平分∠AFC，
∴CE=EG，
∵EF=EF，
∴由勾股定理得：CF=GF．
（2）证明：连接BE，
∵AB的垂直平分线DE，
∴AE=BE，
在Rt△AGE和Rt△BCE中，
AE＝BE
EG＝EC，
∴Rt△AGE≌Rt△BCE（HL），
∴AG=BC．
（3）∵AG=BC=BF+GF，
∴AG=BC=[1/2]（AF+BF）=[1/2]×12=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=
AB2−BC2=
102−62=8，
设EG=EC=x，则AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得：62+x2=（8-x）2，
解得：x=1[3/4]，
∴EG的长是1[3/4]．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
考点点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，去掉三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．用了方程思想．
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