已知函数f(x)=1/2ax2+2x,g(x)=Inx.是否存在正实数a,使得函数T(x)=g(x)/x-f'(x)+(2a+1)在区间(1/e...
已知函数f(x)=1/2ax2+2x,g(x)=Inx.是否存在正实数a,使得函数T(x)=g(x)/x-f'(x)+(2a+1)在区间(1/e,e)内有两个不同的零点?若存在,请求出a的取值范围.
∵f(x)=(1/2)ax² 2x,g(x)=lnx,
∴h(x)=g(x)/x-f'(x) (2a 1)= (lnx)/x-ax-2
∴在区间(1/e,e)内,只当x=1,且a=-2时,
h(x)=0/1 2-2=0;
另若(lnx)/x-ax-2=0
则,ax=(lnx)/x-2
而在区间(1/e,1)内,(lnx)/x<0;
在区间(1,e)内,(lnx)/x<1
∴当x≠1时,总有ax=(lnx)/x-2<0
∴a-0,
∴不存在正实数a,使得函数h(x)=g(x)/x-f'(x) (2a 1)在区间(1/e,e)内有两个不同的零点;而只当x=1,且a=-2时,h(x)=0/1 2-2=0,存在一个零点.
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