如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠ABC=90°,∠BCD=135°,沿对角线AC将此四边形折成直二
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解题思路:(1)由平面几何知识,不难算出∠ACD=90°,从而AC⊥CD.因为二面角B-AC-D为直二面角,结合CD⊥AC,可得DC⊥平面ABC,得到CD⊥AB,最后根据线面垂直的判定定理,得到AB⊥平面BCD;

(2)利用等腰三角形ABC作为底面,CD为高,不难用锥体体积公式求出三棱锥D-ABC的体积;

(3)设点C到平面ABD的距离为h,根据三棱锥C-ABD的体积等于三棱锥D-ABC的体积,建立等式并代入题中的数据,解之即可求出点C到平面ABD的距离.

(1)∵△ABC中,AB=BC=a,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°

∴∠ACD=135°-45°=90°,得AC⊥CD

∵二面角B-AC-D为直二面角

∴平面ACD⊥平面ABC

∵CD⊥AC,平面ACD∩平面ABC=AC,∴DC⊥平面ABC

∵AB⊆平面ABC,∴CD⊥AB

又∵AB⊥BC,BC、CD是平面BCD内的相交直线

∴AB⊥平面BCD------(4分)

(2)由(1)知DC⊥平面ABC,故DC是三棱角D-ABC的高

∵Rt△ABC的面积S=[1/2]AB×BC=[1/2]a2

∴三棱锥D-ABC的体积V=[1/3]Sh=[1/3]×[1/2]a2×DC=[1/6]a3-----------(8分)

(3)设点C到平面ABD的距离为h

Rt△ABD中,BD=

BC2+CD2=

2

由VC-ABD=VD-ABC,得[1/3]×[1/2]×AB×BD×h=[1/6]a3

∴h=

2

2a--------------------(12分)

点评:

本题考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.

考点点评: 本题以平面翻折问题为例,证明了线面垂直并求几何体的体积,着重考查了线面垂直的判定与性质、点到平面距离的求法和锥体体积公式等知识,属于基础题.