数论题求解 ?
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当r取遍1,2,...,p-1,s取遍0,1,2,...,p^(l-1)-1,
r+ps取遍mod p^l的既约剩余系.
所以就是要证明全体mod p^l的既约剩余类的乘积同余于-1 mod p^l.
证明使用配对的方式.
对任意与p互素的正整数x,在mod p^l意义下,存在唯一的y使得xy ≡ 1 (mod p^l).
且易知y也与p互素.
由此可将既约剩余类x mod p^l与y mod p^l配对.
mod p^l的既约剩余类按上述方式"两两"配对.
由x² ≡ 1 (mod p^l)等价于p^l | x²-1 = (x-1)(x+1).
而p ≥ 3,故x-1与x+1不能同时被p整除.
于是有x² ≡ 1 (mod p^l)等价于p^l | x-1或p^l | x+1,即x ≡ ±1 (mod p^l).
因此在上述配对中,仅有1,-1这两个剩余类是与自身配对的.
配对的两个剩余类的乘积同余于1 mod p^l.
因此全体mod p^l的既约剩余类的乘积 ≡ 1·(-1) = -1 (mod p^l).
写得不太像完整的证明,你可以按照自己的方式整理一下.
