设函数f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
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解题思路：（1）根据极值点处的导函数值为零建立方程组，解之即可；
（2）求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，列出f'（x）、f（x）随x的变化情况，从而求出函数的单调性．
显然f（x）的定义域为R．
（1）f'（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），（2分）
由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得
f′(−2)＝0
f′(1)＝0.（4分）
即
−6a+2b＝0
3+3a+2b＝0（5分）
解得
a＝−
1
3
b＝−1.（7分）
（2）由（1）得f'（x）=x（x+2）（ex-1-1）．（8分）
令f'（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．（10分）f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：（13分）
x （-∞，-2） -2 （-2，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - 0 + 0 - 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗从上表可知：函数f（x）在（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．（14分）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题是一道关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、极值等基础知识，应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题．
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