一道高中几何计算题椭圆ax^2+by^2=1 与直线x+y=1交于A,B两点,C是线段AB的中点,/AB/=2√2,（注
3个回答

ax^2+by^2=1与直线方程x+y=1联立：得到：

(a+b)x^2-2bx+b-1=0

由弦长公式：|AB|=|x2-x1|根号(1+k^2)

而一直直线斜率k=-1,由韦达定理：知|x2-x1|=(根号下Δ)/|a+b|,而已知该曲线为椭圆,因此a>0,b>0,代入得：

2根号2*根号下(a+b-ab)/(a+b)=2根号2

即:根号下(a+b-ab)/(a+b)=1(1 )

然后利用AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为2分之根号2得到：

k=((y1+y2)/2)/((x1+x2)/2)=(y1+y2)/(x1+x2)=1/根号2

而y1+y2=(1-x1)+(1-x2)=2-(x1+x2)=2-2b/(a+b)

x1+x2=2b/(a+b)

代入并化简得到：2a=b*跟号2(2 )

联立1,2解得a=1/3,b=(根号2)/3

相关问题