已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点,且y最小=-4,那么p=______,q=____
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解题思路:设切点(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q).由题意得:方程x2+px+q=0有两个相等实根a,故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,再利用y极小值=-4,可求a=-3,从而可求p,q的值.

设切点(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q)

由题意得:方程x2+px+q=0有两个相等实根a

故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x

f′(x)=3x2-4ax+a2=(x-a)(3x-a)

令f′(x)=0,则x=a或[a/3]

∵f(a)=0≠-4,

∴f(

a

3)=−4

于是

a

3•(

a

3−a)2=−4,

∴a=-3

∴f(x)=x3+6x2+9x

∴p=6,q=9

故答案为:6;9.

点评:

本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.

考点点评: 本题以函数为载体,考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的极值,考查导数的几何意义,属于中档题.