2007年 和 2008年 初三数学竞赛试题(天津赛区!)
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2008年全国初中数学竞赛试题(天津赛区)参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6小题,每题均给出了代号为 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.

1.设 , ,且 ,则代数式 的值为 ( )

5. 7. 9. 11.

【答】 .

解 由题设条件可知 , ,且 ,所以 是一元二次方程 的两根,故 , ,因此 . 故选 .

2.如图,设 , , 为三角形 的三条高,若 , , ,则线段 的长为 ( )

. 4. . .

【答】 .

解 根据勾股定理,有 AB =AE +BE ①,BC =BE +EC ②,用①-②,得到AB -BC =AE -EC =(AE-EC)•(AE+CE),所以AE+CE=(6 -5 )÷ =5,从而解得AE= ,CE= ,这样BE= . 故选 .

3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( )

. . . .

【答】 .

解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.

所以所组成的数是3的倍数的概率是 . 故选 .

4.在△ 中, , , 和 分别是这两个角的外角平分线,且点 分别在直线 和直线 上,则 ( )

. .

. 和 的大小关系不确定.

【答】 .

解 ∵ , 为 的外角平分线,∴ .

又 ,∴ ,

∴ .

又 ,

,

∴ . 因此, .故选 .

5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为 ,则 的最小值为 ( )

. . . .

【答】 .

解 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.

设5种商品降价前的价格为 ,过了 天. 天后每种商品的价格一定可以表示为

,其中 为自然数,且 .

要使 的值最小,五种商品的价格应该分别为: , ,

, , ,其中 为不超过 的自然数.

所以 的最小值为 . 故选 .

6. 已知实数 满足 ,则 的值为 ( )

. 2008. . 1.

【答】 .

解 ∵ ,

∴ ,

,

由以上两式可得 . 所以 ,解得 ,所以

. 故选 .

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.设 ,则 .

解 ∵ ,∴ ,

.

2.如图,正方形 的边长为1, 为 所在直线上的两点,且 , ,则四边形 的面积为

解 设正方形 的中心为 ,连 ,则 , ,

, ∴ .

又 ,

,

所以△ ∽△ ,故 ,从而 .

根据对称性可知,四边形 的面积

.

3.已知一次函数 ( 为整数且 ≠1)的图象与 轴、y轴的交点分别为A、B,且△OAB的面积是正整数,则 = 2 .

解 不难求得A、B两点的坐标分别为(- ,0),(0,a),故

• • =

注意到 、a均为整数,故 为整数,于是a-1=1或-1,即a=2或0.将此两值分别代入可知a=0时, =0应舍去;a=2时, =2满足题设.故a=2.

4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 1 .

解 到 ,结果都只各占1个数位,共占 个数位;

到 ,结果都只各占2个数位,共占 个数位;

到 ,结果都只各占3个数位,共占 个数位;

到 ,结果都只各占4个数位,共占 个数位;

到 ,结果都只各占5个数位,共占 个数位;

此时还差 个数位.

到 ,结果都只各占6个数位,共占 个数位.

所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是 的个位数字,即为1.

第二试 (A)

一.(本题满分20分) 已知实数 、 、 、 使得方程

对一切实数 均成立,那么当代数式

取到最小值时, + + + 的值为多少?

解 化简原方程,得到:

因为此方程对一切实数x均成立,故得到:

b-a=c+d ①

-ab-24=cd ② ……………… 5分

而① -②×2,则有:

a +b +48=c +d ③ ……………… 10分

将①、②、③式代入所求代数式中,有:

原式=a +b +a +b +48-24-4a-4b+8(b-a)+10

=2a +2b -12a+4b+34

=2(a-3) +2(b+1) +14 ……………… 15分

故在a-3=0,b+1=0,即a=3,b=-1时,该式取到最小值14,此时c+d=-1-3=-4,于是

a+b+c+d=3+(-1)+(-4)=-2 ……………… 20分

二.(本题满分25分) △ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连AN、CM交于P点.试求∠APM的度数,并写出你的推理证明的过程.

解 的度数为45 . ……………… 5分

证明过程如下:过点M作AB的垂线MD,使MD=CN,连接DA、DN,于是

因为 MD‖CN且MD=CN,所以四边形MDNC是平行四边形 …… 10分

从而 ,又因为CN=BM,得到DM=BM,进而在△DMA与△MBC中,

所以△DMA≌△MBC …………………… 15分

这样DA=MC,而MC=DN,所以DN=DA. 又因为∠ADN=∠ADM+∠MDN=∠ADM+∠MCN=∠ADM+∠DAM=90 ,所以得到△ADN是一个等腰直角三角形. …………………… 20分

所以∠AND=45 ,利用MC‖DN,从而得到∠APM=∠AND=45 …………………… 25分

三.(本题满分25分)设 为质数, 为正整数,且

(1)

求 , 的值.

解 (1)式即 ,设 ,则

(2)

故 ,又 ,所以 (3) ……………………5分

由(1)式可知, 能被509整除,而509是质数,于是 能被509整除,故 为整数,即关于 的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式 为完全平方数.………………10分

不妨设 ( 为自然数),则 .

由于 和 的奇偶性相同,且 ,所以只可能有以下几种情况:

① 两式相加,得 ,没有整数解.

② 两式相加,得 ,没有整数解.

③ 两式相加,得 ,没有整数解.

④ 两式相加,得 ,没有整数解.

⑤ 两式相加,得 ,解得 .

⑥ 两式相加,得 ,解得 ,而 不是质数,故舍去.

综合可知 . …………………………………20分

此时方程(3)的解为 或 (舍去).

把 , 代入(2)式,得 .…………………………………25分

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