设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0

设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0

（3）是否存在最小的正整数N,使得当n≥N时,不等式ln（（n+1）/n）＞（（n-1）/n3）恒成立

假设存在...恒成立.n∈[1,+∞]

随着n的增大,（（n+1）/n）→1,则ln（（n+1）/n）→0

∴要证ln（（n+1）/n）＞（（n-1）/n3）

只要证（（n-1）/n3）≤0

即n-1≤0

即n≤1

又∵n∈[1,+∞]

∴n=1

∴存在最小的正整数N=1,使得当n≥N时,不等式ln（（n+1）/n）＞（（n-1）/n3）恒成立

结果和答案是一样的

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不可以,题目要求证明最小的正整数N,你开头用无穷大的极限思想只能说明n趋于无穷大时不等式成立,所以你之后计算n值都是没有理论依据的.

正确的

分析：先构造函数h（x）=x^3-x^2+ln（x+1）,然后研究h（x）在[0,+∞）上的单调性,求出函数h（x）的最小值,从而得到ln（x+1）＞x^2-x^3,最后令x=1/n ,即可证得结论．

对于函数f（x）=x^2-ln（x+1）,令函数h（x）=x^3-f（x）=x^3-x^2+ln（x+1）

则h'(x)=3x^2-2x+1/(x+1) =3x^3+(x-1)^2 / (x+1) ,

∴当x∈[0,+∞）时,h′（x）＞0

所以函数h（x）在[0,+∞）上单调递增,

又h（0）=0,

∴x∈（0,+∞）时,恒有h（x）＞h（0）=0

即x^2＜x^3+ln（x+1）恒成立．

取x=1/n ∈(0,+∞),则有ln(1/n +1)＞1/n^2 -1/n^3 恒成立．

显然,存在最小的正整数N=1,使得当n≥N时,不等式ln(1/n +1)＞1/n^2 -1/n^3 恒成立

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