已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax（a∈R）．
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解题思路：（1）把a=[1/2]代入函数f（x），再对其进行求导，从而求出函数f（x）的极值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可以对其进行求导，将问题转化为f′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，从而求解；
（1）a=[1/2]，函数f(x)＝ln(2ax+1)+
x3
3−x2−2ax(a∈R)．
∴f（x）=ln（x+1）+
x3
3-x2-x，
∴f′（x）=[1/x+1]+x2-2x-1，可以得f′（x）=0，可得
x（x2-x-3）=0，解得x=0，x1=
1+
13
2，x2=
1−
13
2，
∴函数f（x）有两个极小值点：x1=
1+
13
2，x2=
1−
13
2，
函数f（x）有一个极小值点：x=0；
（2）y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，
可以令f′（x）=[2a/2ax+1]+x2-2x-2a≥0在x≥3上恒大于0，
∴f′（x）=[−2a×2a
(2ax+1)2+2x−2=
−4a2+2(x−1)(2ax+1)2
(2ax+1)2，
∴当x≥3时，可得f″（x）＞0，
f′（x）在[3，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥f′（3）≥0，
∴
2a/6a+1]+9-6-2a≥0，
解得，
3−
13
4≤a≤
3+
13
4；
又由2ax+1＞0且x≥3，可得a≥0，
故a的取值范围是0≤a≤
3+
13
4．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题主要考查函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的单调性，综合性比较强；
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