如图,已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）,与y轴交于点C.

如图,已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）,与y轴交于点C.

（1）、求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标；

（2）、若直线y=kx+b经过C、M两点,且与x轴交于点D,证明四边形CDAN是平行四边形.

（3）、点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索,在x轴上方是否存在这样的点P,使以P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

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2个回答

(1) 已知顶点M(1,4),抛物线的开口向下

则,y-4=k(x-1)^2

经过N点,则有,3-4=k(2-1)^2=k=-1

所以,y=-(x-1)^2+4.此即抛物线的解析式

令y=0,易得：x1-1=2,即x1=3

x2-1=-2,即,x2=-1

据题意,A(-1,0),B(3,0)

令x=0,则,y=-1+4=3,故,C(0,3)

(2) 由(1)的解可知,Yc=Yn,则,CN//AB,|CN|=2

将C、M的坐标代入直线方程：y=kx+b

b=3,4=k*1+3,k=1

y=x+3与x轴的交点D（-3,0）,则,|AD|=2

线段CN=线段AD,CN//AD.亦即四边形ADCN是平行四边形

(3) 设圆P与CD的切点为G,有PG=PA=PB

设P(1,m).由以上计算知道：BD=6,角CDB=45度

PG所在直线方程的斜率k=-1,P在直线PG上,则有

y=-x+m+1与y=x+3的交点即G

x=(m-2)/2,y=(m+4)/2.即G[(m-2)/2,(m+4)/2]

据PG=PA,有：

PG^2=m^2+4=(4-m)^2/4+(m-4)^2/4

2m^2+8=m^2-8m+16

m=2√6-4,m=-4-2√6

(1,2√6-4),和（1,-4-2√6）即为所求圆P的圆心坐标

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