证明∑（d(t))^3=(∑d(t))^2
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证明：⑴设f(n)= ∑(d (t))3,g(n)=(∑d (t))2
因为n=p1a1… pkak
所以f(n)=f(p1a1… pkak)
又因为t是跑过n的所有正因子,
则 f(p1a1… pkak)= f(p1a1) f(p2a2)… f(pkak)
即∑(d (t))3是积性函数
同理 g(n)= g(p1a1… pkak)= g(p1a1) f(p2a2)…f(pkak)
即(∑d (t))2是积性函数
⑵因为f(pa)= ∑(d (1+β))3 ｛其中β依次是从0开始到a的所有整数｝
所以∑d (t)= ∑d (1+β) ｛其中β依次是从0开始到a的所有整数｝
∑d (1+β)={(a+1)(a+2)/2} ｛其中β依次是从0开始到a的所有整数｝
令d (1+β)=k
则∑k={(a+1)a/2} ｛其中k依次是从1开始到a的所有整数｝
现在用归纳法证明∑(d (t))3=∑k3={(a+1)a/2}2
当a=1时,等式成立
假设 当a=m(m>1,且为整数)时,等式成立.
当a=m+1时,
∑(d (t))3={(m+1)m/2}2+(m+1)3
整理得 ∑(d (t))3={(m+2)(m+1)/2}2
综上所述,∑(d (t))3=(∑d (t))2
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