已知抛物线x2=-4y,过点M（0,-4）的直线与抛物线相交于A,B两点,（1）求证以AB为直径的圆过原点O
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（1）设直线方程为y=kx-4,代入x²=-4y,得x²+4kx-16=0

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

x1+x2=-4k,x1x2=-16

y1+y2=k(x1+x2)-8=-4k²-8

y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k²x1x2-4(x1+x2)+16=-16k²+16k²+16=16

所以 向量OA•OB=x1x2+y1y2=0,OA⊥OB,所以以AB为直径的圆过原点O

（2）2S=|OA|•|OB|,

4S²=|OA|²|OB|²=(x1²+y1²)(x2²+y2²)

=(-4y1+y1²)(-4y2+y2²)

=y1y2(y1-4)(y2-4)=16[y1y2-4(y1+y2)+16]

=16(32+16k²+32)=256(k²+4)

S²=64(k²+4),当k=0时,S的最小值为16

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