如图,在等边三角形ABC中,AB=a,点O为三角形中心,过点O的直线交AB于点M,AC于点N,求1/OM^2+1/ON^
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设∠MOB=θ
0≤θ≤60°
∠OMB=180-θ-30=150-θ
∠MBO=30
OM/sin∠MBO=OB/sin∠OMB
因为AB=a,所以OB=√3a/3
OM/sin30=(√3a/3)/sin（150-θ）
OM=(√3a/6)/sin（150-θ）
∠NOC=180-120-θ=60-θ
∠ONC=180-30-(60-θ)=90+θ
ON/sin∠NCO=OC/sin∠ONC
ON=(√3a/6)/sin（90+θ）
1/OM^2+1/ON^2
=(sin（150-θ）/(√3a/6))^2+(sin（90+θ）/(√3a/6))^2
整理得（6sin（2θ+π/6）+12）/a^2
0≤θ≤60°
所以π/6≤2θ+π/6≤3π/2
-1≤sin（2θ+π/6）≤1
6/a^2≤（6sin（2θ+π/6）+12）/a^2≤18/a^2
所以1/OM^2+1/ON^2的最小值为6/a^2
最大值为18/a^2
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