把圆周分成四等份,A是其中一个分点,动点P在四个分点上按逆时针方向前进,现在投掷一个质地均匀的正四面体,它的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字,P从A点出发,按照正四面体底面上数字前进几个分点,转一周之前连续投掷.
(1)求点P恰好返回A点的概率;
(2)在点P转一周恰能返回A点的所有结果中,求至少需投掷3次点P才能返回A的概率.
解题思路:(1)由题意根据相互独立事件的概率乘法公式,分类讨论求得转一周之前点P恰好返回A点的概率.
(2)由(1)可得,在点P转一周恰能返回A点的所有的8个结果中,至少需投掷3次点P才能返回A的结果有4种,从而求得至少需投掷3次点P才能返回A的概率.
(1)投掷一个质地均匀的正四面体,四面体每个面上的数字在底面上的概率是相等的,都等于[1/4],
若投掷一次,点P恰好返回A点,则四面体的底面上的数字为4的概率为[1/4],
若投掷二次,点P恰好返回A点,则四面体的底面上的数字分别为(1,3)、(3,1)、(2,2),共3种结果,其概率为3×(
1
4)3=[3/16],
若投掷三次,点P恰好返回A点,则四面体的底面上的数字分别为(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1),共3种结果,其概率为 3×(
1
4)3=[3/64],
若投掷四次,点P恰好返回A点,则四面体的底面上的数字分别为(1,1,1,1),共一种结果,其概率为(
1
4)4=[1/256].
综上可得,点P恰好返回A点的概率为 [1/4]+[3/16]+[3/64]+[1/256]=[125/256].
(2)由(1)可得,在点P转一周恰能返回A点的所有的8个结果中,至少需投掷3次点P才能返回A的结果有:
(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)、(1,1,1,1),共4种结果,
故至少需投掷3次点P才能返回A的概率为 [4/8]=[1/2].
点评:
本题考点: n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
考点点评: 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,古典概型及其概率计算公式的应用,列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.
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