这里的面积向量应该是指向量的外积
向量a,b的外积的大小就代表以a,b为邻边的平行四边形的面积.
定义
把向量外积定义为： |a ×b| = |a|·|b|·Sin. 方向根据右手法则确定,就是手掌立在a、b所在平面的向量a上,掌心向b,那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向,被规定为外积的方向.
编辑本段运算
向量外积的代数运算形式为：
| e(i) e(j) e(k) |
a × b=| x(a) y(a) z(a) |
| x(b) y(b) z(b) |
这个行列式,按照第一行展开.e表示标准单位基.
分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证.有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明.
下面给出代数方法.我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性： a × b = - b × a. 这由外积的定义是显然的.
2）内积（即数积、点积）的分配律： a·(b + c) = a·b +a·c, (a + b)·c = a·c + b·c. 这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos,用投影的方法不难得到证明.
3）混合积的性质： 定义(a×b)·c为向量a, b, c的混合积,容易证明： i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积,其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正,左手系为负）.
从而就推出： ii) a·(b×c)=b·(c×a)=c·(a×b) 所以我们可以记a, b, c的混合积为(a,b,c)
编辑本段推理
由i)还可以推出：
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) 我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个向量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3,则a必为零向量.
下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律.
设r为空间任意向量,在r·[a×(b + c)]里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有 r·[a×(b + c)] = (r×a)·(b + c) = (r×a)·b + (r×a)·c = r·(a×b) + r·(a×c) = r·(a×b + a×c) 移项,再利用数积分配律,得 r·[a×(b + c) - (a×b + a×c)] = 0 这说明向量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个向量.
按3)的iv),这个向量必为零向量,即 a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0 所以有 a×(b + c) = a×b + a×c. 证毕.
三向量的外积 a×（b×c）=(a·c)b-（a·b）c
