已知a是实数,函数和f(x)=ax^2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间【-1,1】上有零点,求a的范围.
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若a=0,则f(x)=2x-3,为一次函数,令f(x)=0,可求得其零点为x=1.5,零点不在区间【-1,1】上,不符题意.所以
a≠0,
则f(x)为二次函数,依题意,f(x)在区间【-1,1】上有零点,可分为两种情况：
1、f(x)在区间【-1,1】上有一个零点,
则有f(-1)* f(1)≤0,即(a-2-3-a)* (a+2-3-a) ≤0,解之可得a无解.
2、f(x)在区间【-1,1】上有两个零点,则则判别式
△=4+4a(a+3)=4(a²+3a+1)≥0 …………①
令f(x)=0,解之得x=[-1±√(a²+3a+1)]/a,所以
-1≤[-1-√(a²+3a+1)]/a≤1且-1≤[-1+√(a²+3a+1)]/a≤1 …………②
①②联立解不等式组,
由①得a≤(-3-√5)/2或a≥(-3+√5)/2
由②得a≤-2/3 （后面附注②的解法）
二者取交集得
a≤(-3-√5)/2
注意②的解法很麻烦：
-1≤[-1±√(a²+3a+1)]/a≤1
{[-1±√(a²+3a+1)]/a+1}*{[-1±√(a²+3a+1)]/a-1}≤0
两边同乘以a²得
[-1±√(a²+3a+1)+a]*[-1±√(a²+3a+1)-a]≤0
[-1±√(a²+3a+1)]²-a²≤0
1+(a²+3a+1) ±2√(a²+3a+1)- a²≤0
2+3a ±2√(a²+3a+1)≤0
2+3a≤±2√(a²+3a+1)
2+3a≤2√(a²+3a+1) ≤-(2+3a)
2+3a≤-(2+3a)且2√(a²+3a+1) ≤-(2+3a)
2+3a≤0且4(a²+3a+1) ≤(2+3a)²
a≤-2/3且5a²≥0
解出a≤-2/3
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