数学问题:(有图)在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形
1个回答
(1)取PD中点E
连接EN
因为N是PC的中点
所以EN平行CD,且EN=CD/2
因为M是AB中点
所以AM=AB/2
因为ABCD是矩形,AB=CD
所以AM=CD/2
因此AM=EN
因为AM平行CD,EN平行CD
所以AM平行EN
因此AMNE是平行四边形
所以MN平行AE
因为AE在平面PAD中
所以MN//平面PAD
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以PA垂直CD
因为CD垂直AD,AD交CD于D,所以CD垂直平面PAD,因为CD平行EN
因此EN垂直平面PAD,所以EN垂直AE,因为AE平行MN
因此MN垂直EN,
因为EN是平面AMN与平面PCD的交线,且平面AMN⊥平面PCD
所以MN⊥平面PCD,
取CD中点F,连接NF
设MA=MB=a,BC=b,则MC=根号(a^2+b^2) ,
∵MN⊥平面PCD,
∴MN⊥PC,而△MPC中,N是PC的中点,于是MP=MC=根号(a^2+b^2) ,
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AM,PA= 根号(PM^2-AM^2)=b,
于是PD= 根号2b,而FN是△PDC的中位线,∴FN=根号2b/2．
∵MF⊥CD,MN⊥平面PCD,
∴FN⊥CD,∴∠MFN即为二面角P—CD—B的平面角,
设为α,于是：
cosα=FN/FM=根号2/2 ,α=45°,
即二面角P—CD—B的大小为45°．
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