已求出dy/dx=(x^-2xy^2-2x^3)/(2yx^2+2y^3+y)....
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(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = x^2 - y^2
4x^3 + 4xy^2 + 4x^2yy' + 4y^3y' = 2x - 2yy'
y'=(x-2x^3-2xy^2)/(2x^2y+2y^3+y)
切线水平或竖直说明y'=0或无穷大
即x-2x^3-2xy^2=0 或 2x^2y+2y^3+y=0
当x-2x^3-2xy^2=0时, x=0 或 y^2=(1/2) - x^2
代入原式(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2, 解得y^4 = -y^2 或 1/4 = 2x^2 - 1/2, 即 x=0, y=0 或 x = 正负sqrt(3/8),y=正负sqrt(1/8)
所以得到4个切线水平的点：(正负sqrt(3/8), 正负sqrt(1/8))
当2x^2y+2y^3+y=0时, y=0 或 x^2 = -y^2 - (1/2)
代入原式(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2, 解得x^4 = x^2, 或 1/4 = -y^2/2 - (1/2), 即x=0, y=0, 或 x=正负1, y=0
所以得到2个切线竖直的点：(1,0) 和 (-1,0)
在点(0,0),y'=0/0, 用L'H rule继续求导,得到y'=1/y', 即y'=正负1.说明有2条曲线都经过原点,斜率分别为1和-1,既然题目问的是切线水平或竖直,这个点就不用考虑了.所以一共6个点满足要求.
希望能看懂~~
