如图,圆C：x²-（1+a）x+y²-ay+a.
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（Ⅰ）因为由
y＝0
x2−(1+a)x+y2−ay+a＝0
可得x2-（1+a）x+a=0,
由题意得△=（1+a）2-4a=（a-1）2=0,所以a=1,
故所求圆C的方程为x2-2x+y2-y+1=0．
（Ⅱ）令y=0,得x2-（1+a）x+a=0,即（x-1）（x-a）=0,求得x=1,或x=a,
所以M（1,0）,N（a,0）．
假设存在实数a,当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k（x-1）,
代入x2+y2=4得,（1+k2）x2-2k2x+k2-4=0,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,从而x1+x2＝
2k2
1+k2
,x1x2＝
k2−4
1+k2
．
因为NA、NB的斜率之和为
y1
x1−a
+
y2
x2−a
＝
k[(x1−1)(x2−a)+(x2−1)(x1−a)]
(x1−a)(x2−a)
,
而（x1-1）（x2-a）+（x2-1）（x1-a）=2x1x2-（a+1）（x2+x1）+2a=2
k2−4
1+k2
−(a+1)
2k2
1+k2
+2a=
2a−8
1+k2
,
因为∠ANM=∠BNM,所以,NA、NB的斜率互为相反数,
y1
x1−a
+
y2
x2−a
＝0,即
2a−8
1+k2
＝0,得a=4．
当直线AB与x轴垂直时,仍然满足∠ANM=∠BNM,即NA、NB的斜率互为相反数．
综上,存在a=4,使得∠ANM=∠BNM．
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