等腰三角形周长为4,使其绕底边上的高旋转180度形成一个几何体,则当几何体体积最大时,等腰三角形的腰长为多少?
4个回答

这个几何体是一个圆锥

设等腰三角形的腰长为x, 底边长为2y

则周长为2x+2y=4,得x+y=2

显然,x>y>0,所以设x=1+t,y=1-t;,其中 1>t>0

旋转后的圆锥,底面半径为y;,高为 根号下(x^2-y^2)

所以圆锥的体积是V=1/3*pi*y^2*根号下(x^2-y^2)

用t来表示,得

V=1/3*pi*(1-t)^2*根号下(4t)

毫无疑问,我们只要求出(1-t)^2*根号下(4t)在什么时候取最大值就可以了

也就是,要求(1-t)^4*(4t)在何时取最大值

注意到均值不等式的使用

(1-t)^4*4t=(1-t)(1-t)(1-t)(1-t)*4t

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