两个二次函数f（x）=x2+bx+c与g（x）=-x2+2x+d的图象有唯一的公共点P（1，-2），
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解题思路：（I）由题意可得（1，-2）为两抛物线的顶点，结合二次函数的性质可求b，c，d
（II）由（I）可求f（x），g（x），代入可求F（x）=（f（x）+m）•g′（x），对函数F（x）求导，然后结合二次函数的性质可判断F′（x）的正负，从而可判断函数的单调性．
（Ⅰ）∵P（1，-2）是两个函数的公共点，∴g（1）=1+d=-2，解得d=-3，
即g（x）=-x2+2x-3，
∵f（1）=1+b+c=-2，∴b+c=-3，即c=-3-b，①
由f（x）=g（x），即x2+bx+c=-x2+2x-3，
则2x2+（b-2）x+c+3=0，
则判别式△=（b-2）2-8（c+3）=0，②
由①②得（b+2）2=0，解得b=-2，c=-1．
即b=-2，c=-1，d=-3；
（Ⅱ）∵b=-2，c=-1，d=-3，∴f（x）=x2-2x-1与g（x）=-x2+2x-3，
则g′（x）=-2x+2，
∴F（x）=（f（x）+m）•g′（x）=（x2-2x-1+m）•（-2x+2），
∴F′（x）=-6x2+4x-（2m+6），
则函数F′（x）的对称轴为x=−
4
−2×6＝
1
3，抛物线开口向下，
∴[-2，0]在对称轴的左侧，
若F（x）在[-2，0]上是单调函数，
则F′（-2）F′（0）≥0，
即（-38-2m）[-（2m+6）]≥0，
则（2m+38）（2m+6）≥0，
即（m+19）（m+3）≥0，解得m≥-3或≤-19．
故m的范围是m≥-3或≤-19．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点．
考点点评： 本题主要考查了二次函数的对称性、函数的导数与函数的单调性的关系的应用，解题的关键是熟练应用二次函数的性质
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