如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一 - 已解决

如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B，若S_△BPQ=3S_△APQ，求这个二次函数的解析式．

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解题思路：通过已知条件，让两个函数解析式组成方程组，用b、c表示出各点坐标，通过面积关系，得到底相同高的关系式，最后得到b=-4或[4/3]，这样c=4或[4/9]，舍去不合题意的值．

∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点P，

∴点P的坐标为（-[b/2]，0），根据图形可得b＜0，

即可得到b²-4ac=0，

∵a=1，

∴b²-4c=0，

解得c=

∵二次函数与y轴的交点为Q

∴点Q的坐标为（0，c），

∵Q在y=2x+m上，

∴m=c

∴一次函数解析式为y=2x+c

y＝2x+c

y＝x2+bx+c

∴B（2-b，4-2b+

4）

∵S_△BPQ=3S_△AQP

∴S_△ABP=4S_△AQP

∴点B的纵坐标与Q的纵坐标的比为4：1，

那么4-2b+

4=b²，

解得b=-4或b=[4/3]（舍去）．

当b=-4时，c=4，

∴二次函数为y=x²-4x+4．

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本题考点：二次函数综合题．

考点点评：二次函数与一次函数解析式的常数项都是与y轴的交点．底相同的两个三角形，面积比就是高的比．

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