如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P,与y轴的交点为Q.过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A,与这个二次函数的图象交于另一点B,若S△BPQ=3S△APQ,求这个二次函数的解析式.
解题思路:通过已知条件,让两个函数解析式组成方程组,用b、c表示出各点坐标,通过面积关系,得到底相同高的关系式,最后得到b=-4或[4/3],这样c=4或[4/9],舍去不合题意的值.
∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点P,
∴点P的坐标为(-[b/2],0),根据图形可得b<0,
即可得到b2-4ac=0,
∵a=1,
∴b2-4c=0,
解得c=
b2
4
∵二次函数与y轴的交点为Q
∴点Q的坐标为(0,c),
∵Q在y=2x+m上,
∴m=c
∴一次函数解析式为y=2x+c
y=2x+c
y=x2+bx+c
∴B(2-b,4-2b+
b2
4)
∵S△BPQ=3S△AQP
∴S△ABP=4S△AQP
∴点B的纵坐标与Q的纵坐标的比为4:1,
那么4-2b+
b2
4=b2,
解得b=-4或b=[4/3](舍去).
当b=-4时,c=4,
∴二次函数为y=x2-4x+4.
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 二次函数与一次函数解析式的常数项都是与y轴的交点.底相同的两个三角形,面积比就是高的比.
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