设函数f在[a，b]上连续且无零点，F（X）=∫xaf（t）dt+∫xb1f(t)dt，则方程F（x）=0在（a，b）内
1个回答
解题思路：利用连续函数的零点存在定理可以判断F（X）的零点存在性；利用F（x）的单调性可以确定方程F（x）=0在（a，b）内根的个数．
因为函数f在[a，b]上连续且无零点，不妨设f（x）＞0，则
F（a）=
∫ab
1
f(t)dt＜0，F（b）=
∫baf(t)dt＞0，
从而由连续函数的零点存在定理可得，F（x）=0至少存在一个零点．
又因为
F′（x）=f（x）+
1
f(x)＞0，
所以F（x）在[a，b]上严格单调，
从而F（x）=0的根存在且唯一，
即：方程F（x）=0在（a，b）内根的个数为1．
故选：B．
点评：
本题考点： 零点定理及其推论的运用；函数的单调性．
考点点评： 当直接求解方程比较困难时，为了确定方程F（x）=0的根在区间（a，b）内的个数，我们常用的方法是：首先利用连续函数的零点存在定理确定根的存在性；再利用函数的单调性证明方程的根在区间（a，b）内的存在唯一性．
相关问题
