已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=3/2,a2=2,且2Sn=a(n+1)+2S(n-1)+1,其中n大于等于2,
1个回答

1、

证：

2Sn=a(n+1)+2Sn-1+1

2(Sn-Sn-1)=a(n+1)+1

2an=a(n+1)+1

2an-2=a(n+1)-1

[a(n+1)-1]/(an-1)=2,为定值.

a1-1=3/2-1=1/2

a2-1=2-1=1

(a2-1)/(a1-1)=2,同样满足.

数列{an -1}是以1/2为首项,2为公比的等比数列.

2、

an-1=(1/2)×2^(n-1)=2^(n-2)

an=1+2^(n-2)=1+4/2ⁿ

Sn=a1+a2+...+an=n+2^(-1)+2^0+2^1+...+2^(n-2)=n+(1/2)(2ⁿ-1)/(2-1)=n+(2ⁿ-1)/2

lim[(Sn-n)/an]

=lim[n+(2ⁿ-1)/2-n]/(1+4/2ⁿ)

=lim[2ⁿ(2ⁿ-1)]/(2×2ⁿ+8)

=+∞

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