The old man spends half an hour ______the evening paper ever
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give away两个主要的意思是“赠送”和“泄露”

e.g. I gave my old books away when I graduated. 在我毕业时,我赠送了旧书.

He gave as little information as possible. 他尽可能不泄露消息.

那么,在这句话中,两个意思都不是太合适,这里更接近“分发”的意思,所以,应该用giving out会更符合题意.当然,楼上说的deliver也是可以的.