（Ⅰ）证明：f（x）=2 x代入f（x 0+1）=f（x 0）+f（1）得2 x 0 +1=2 x 0 +2得：…（2分）
即2 x 0 =2，解得x 0=1，
∴函数f（x）=2 x具有性质M．…（4分）
（Ⅱ）h（x）的定义域为R，且可得a＞0，
∵h（x）具有性质M，
∴存在x 0，使得h（x 0+1）=h（x 0）+h（1），代入得lg
a
x 20 +2 = lg
a
x 0 +1 +lg
a
2
化为2（
x 20 +1）= a ( x 0 +1) 2 +a
整理得：（a-2）
x 20 +2ax 0+2a-2=0有实根…（5分）
①若a=2，得x 0=-
1
2 ，满足题意
②若a≠2，则要使（a-2）
x 20 +2ax 0+2a-2=0有实根有实根，只需满足△≥0，
即a 2-6a+4≤0，解得a∈[3-
5 ，3+
5 ]
∴a∈[3-
5 ，2）∪（2，3+
5 ]…（8分）
综合①②，可得a∈[3-
5 ，3+
5 ]…（9分）
（Ⅲ）函数y=f（x）恒具有性质M，即关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
①若f（x）=kx+b，则方程（*）可化为k（x+1）+b=kx+b+k+b，
整理，得0×x+b=0，
当b≠0时，关于x的方程（*）无解
∴f（x）=kx+b不恒具备性质M；
②若f（x）=ax 2+bx+c（a≠0），则方程（*）可化为2ax+a+b=0，解得x- -
a+b
2a ．
∴函数f（x）=ax 2+bx+c（a≠0）一定具备性质M．
③若f（x）=
k
x （k≠0），则方程（*）可化为x 2+x+1无解
∴f（x）=
k
x （k≠0）不具备性质M；
④若f（x）=a x，则方程（*）可化为a x+1=a x+a，化简得（a-1）a x=a即a x=
a
a-1
当0＜a＜1时，方程（*）无解
∴f（x）=
k
x （k≠0），不恒具备性质M；
⑤若f（x）=log ax，则方程（*）可化为log a（x+1）=log ax，化简得x+1=x
显然方程无解；
∴f（x）=
k
x （k≠0），不具备性质M；
综上所述，只有函数f（x）=ax2+bx+c一定具备性质M．…（14分）
