已知函数f(x)＝3x−2−x3x+2−x．
1个回答
解题思路：（1）根据函数奇偶性的定义判断f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．
（1）∵f(x)＝
3x−2−x
3x+2−x＝
2x•3x−1
2x•3x+1＝
6x−1
6x+1
∴f(−x)＝
6−x−1
6−x+1＝
1−6x
1+6x＝−f(x)，x∈R，则f（x）是奇函数．
（2）f(x)＝
6x−1
6x+1＝
(6x+1)−2
6x+1＝1−
2
6x+1在R上是增函数，
证明如下：任意取x1，x2，
使得：x1＞x2∴6x1＞6x2＞0
则f(x1)−f(x2)＝
2
6x2+1−
2
6x1+1＝
2(6x1−6x2)
(6x1+1)(6x2+1)＞0
∴f（x1）＞f（x2），
则f（x）在R上是增函数．
∵0＜
2
6x+1＜2，
∴f(x)＝1−
2
6x+1∈(−1，1)，
则f（x）的值域为（-1，1）．
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的定义的应用，要求熟练掌握函数单调性的定义．
