已知函数f（x）=3x−2−x3x+2−x．
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解题思路：（Ⅰ）因为x∈R，所以定义域关于原点对称．又因为 f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）任意取x1，x2，并且x1＞x2∴
6
x
1
＞
6
x
2
＞0
，则 f（x1）-f（x2）=
2(
6
x
1
−
6
x
2
)
(
6
x
1
+1)(
6
x
2
+1)
＞0，所以f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜
2
6
x
+1
＜2∴f（x）=1-
2
6
x
+1
∈（-1，1），进而得到答案．
（Ⅰ）由题意可得：x∈R，所以定义域关于原点对称．
又因为 f（x）=
3x−2−x
3x+2−x=
2x•3x−1
2x•3x+1=
6x−1
6x+1
所以f（-x）=
6−x−1
6−x+1=
1−6x
1+6x=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）=
6x−1
6x+1=
(6x+1)−2
6x+1=1-
2
6x+1，在R上是增函数，
证明如下：任意取x1，x2，并且x1＞x2∴6x1＞6x2＞0
则 f（x1）-f（x2）=
2
6x2+1-
2
6x1+1=
2(6x1−6x2)
(6x1+1)( 6x2+1)＞0
所以f（x1）＞f（x2），则f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜
2
6x+1＜2
∴f（x）=1-
2
6x+1∈（-1，1），
所以f（x）的值域为（-1，1）．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的值域；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，如奇偶性、单调性、周期性、值域与定义域等性质．
