已知两两垂直的三条射线OA、OB、OC交平面于α于A,B,C,若OA=1,OB=2,OC=3,则a与平面OAB所成角的余
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答案是A. 方法如下：
过O作OD⊥AB交AB于D.
∵OC⊥OA、OC⊥OB、OA∩OB＝O,∴OC⊥平面OAB,∴OD是CD在平面OAB上的射影,
∴由三垂线定理,有：CD⊥AB.
由OD⊥BC、CD⊥BC,得：∠ODC为平面α与平面OAB所成角的平面角.
由勾股定理,有：
AB＝√（OA^2＋OB^2）＝√（1＋4）＝√5； AC＝√（OA^2＋OC^2）＝√（1＋9）＝√10.
由三角形面积公式,容易得出：OD×AB＝OA×OB,∴OD＝OA×OB/AB＝1×2/√5＝2/√5.
再由勾股定理,有：
AD＝√（OA^2－OD^2）＝√（1－4/5）＝1/√5；
CD＝√（AC^2－AD^2）＝√（10－1/5）＝7/√5.
∴由余弦定理,有：
cos∠ODC＝（OD^2＋CD^2－OC^2）/（2CD×OD）
＝（4/5＋49/5－9）/［2×（7/√5）×（2/√5）］＝（4＋49－45）/28＝8/28＝2/7.
即：平面α与平面OAB所成角的余弦值为 2/7.
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