已知S₁=a+b,S₂=a²+b²,S³=a³+b
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由S₁=a+b=1,ab=-1,得 S₂=a²+b²=(a+b)²-2ab=3

S³=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=4 (个人以为S³应该是S₃)

由观察,可得 Sn=aⁿ+bⁿ

S₄=a⁴+b⁴=(a²+b²)²-2(ab)²=7

S5=a^5+b^5=(a+b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)=8-ab(a²+b²)=11

n为整数且n≥3时,Sn-S(n-1)=Sn-(a+b)S(n-1)[因为a+b=1]

=aⁿ+bⁿ-[a^(n-1)+b^(n-1)](a+b)

=-a^(n-1)b-ab^(n-1)=-ab[a^(n-2)+b^(n-2)]

=a^(n-2)+b^(n-2)[因为ab=-1]=S(n-2)

故 Sn=S(n-1)+S(n-2)(n为整数且n≥3时)

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