解题思路：（1）由
∫
2
1
f(x)
x
2
dx
=
∫
2
1
(x−1+
1
x
)dx
，利用定积分公式能求出结果．
（2）f′（x）=3x2-2x+a，由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．从而得到f（x）=x3-x2-x+b，由此利用函数f（x）只有一个零点能求出b的取值范围．
（3）由f′（x）=3x2-2x+a，函数f（x）在区间（-2，2）上不是单调函数，知3x2-2x+a=0在R上有两个不相等的实根，且在（-2，2）至少有一个根，由此能求出a的取值范围．
（1）∵f（x）=x3-x2+ax+b，a=1，b=0，
∴
∫21
f(x)
x2dx
=
∫21(x−1+
1
x)dx
=（[1/2x2−x+lnx）
|21]
=ln2+[1/2]．
（2）f′（x）=3x2-2x+a，
由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=x3-x2-x+b，
f′（x）=3x2-2x-1
=3（x-1）（x+[1/3]），
∴当x＜-[1/3]时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当-[1/3]＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
∵f（-[1/3]）=[5/27]+b，f（1）=-1+b，
∴函数f（x）只有一个零点，
∴[5/27+b＜0，或-1+b＞0，
解得b的取值范围是（-∞，-
5
27]）∪（1，+∞）．
（3）∵f′（x）=3x2-2x+a，
函数f（x）在区间（-2，2）上不是单调函数，
∴3x2-2x+a=0在R上有两个不相等的实根，
且在（-2，2）至少有一个根，
∴△=4-12a＞0，解得a＜[1/3]．
由∃x∈（-2，2），使得：3x2-2x+a=0，
知a=-3x2+2x，∴-16＜a≤
1
3，
综上所述，a的取值范围是（-16，[1/3]）．
点评：
本题考点： 微积分基本定理；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查定积分的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质、零点性质、等价转化思想的合理运用．
