梯形ABCD中,角ABC=90,AB=BC=2AD,P为梯形内一点,PA=1,PB=2,PC=3,求梯形ABCD的面积
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四边形ABCD为直角梯形,AD为上底,BC为下底,AB为高,且AB=BC=2AD,P为四边形内任意点,PA=1,PB=2,PC=3,求ABCD的面积.
我是用三角函数解的
过P作PE⊥AB,PF⊥BC
设AD为a,则AB=BC=2a
∴S直角梯形 ＝（a＋2a）×2a＝ 3a2
设∠PBC＝∠α,∠PCB＝∠β,∠PAB=∠θ
可得两个方程组
① 2cosα＋3cosβ＝2a ③2sinα＋cosθ＝2a
② 2sinα＝3sinβ ④2cosα＝sin θ
先解①②
由①得3cosβ＝2a－2cosα
两边平方（②也两边平方）
得到9 cos2β＝（2a－2cosα）2
9 sin2β＝（2 sinα）2
两式相加9＝（2a－2cosα）2 ＋（2 sinα）2
化简得8acosα＝4a2 －5
同理,由③④得8acosα＝4a2 ＋3
再和上面一样两边平方,再相加（自己化简一下吧）
得16a4 －40 a2 ＋17＝0
解这个二元一次方程,设a2 ＝x
得x1＝ a2＝（5＋2√2）/4 x2＝ a2＝（5－2√2）/4
注：√即为根号
∴S直角梯形＝ 3a2
＝（15＋6√2）/4 或（15－6√2）/4
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