△ABC,三内角A,B,C成等差数列.若根号3sinA+sin(C-π/6)+a=0有两解,求a的范围
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三内角A,B,C成等差数列,故A+C=2B,

而三角形内角和为180度,故A+B+C=180,

即3B=180,所以角B=60度=π/3,A+C=120度=2π/3,

所以C-π/6=π/2 -A,即sin(C-π/6)=sin(π/2 -A)=cosA,

故√3sinA+sin(C-π/6)+a=0可转化为,

√3sinA+cosA+a=0

所以2sin(A+π/6)+a=0

即此方程有两解,

而角A的范围是(0,2π/3),

故A+π/6在π/6到5π/6的范围内,即sin(A+π/6)的范围是(0.5,1]

而2sin(A+π/6)的范围是(1,2]

所以当a在[-2,-1)的范围内时,方程有解

而当a= -2时,方程只有唯一解A=π/3,故舍去,

其余时刻由于公式sinx=sin(π/2-x),方程均有两解

所以a的范围是(-2,-1)

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